2026-06-25 14:17:10 西盟科技
前文介绍
北京时间 2026 年 4 月 25 日上午 9:00，World Science Hill 独家专访了美国国家科学院院士、加州理工侯一钊教授。
【本期人物专访】
侯一钊
侯一钊(Thomas Y. Hou)教授现任加州理工学院(Caltech)应用与计算数学 Charles Lee Powell 讲席教授，并担任应用与计算数学研究生项目负责人之一(Graduate Option Representative)。他于 1982 年获华南理工大学学士学位，随后于 1985 年和 1987 年在加州大学洛杉矶分校(UCLA)分别获得硕士和博士学位。侯教授于 1993 年加入加州理工学院，1998 年晋升为正教授，并于 2004 年起担任 Charles Lee Powell 讲席教授。
侯教授长期从事应用数学与计算数学研究，在多尺度分析与计算、界面问题、随机偏微分方程与不确定性量化、自适应数据分析，以及三维不可压 Euler / Navier–Stokes 方程的整体正则性与奇性形成问题等方向作出了重要贡献。2024 年，他当选美国国家科学院院士(National Academy of Sciences)。
Q1：您能否用一句话简要介绍一下您当前的研究重点，以及您目前最主要投入的研究方向?
我目前的研究聚焦于流体动力学中出现的非线性偏微分方程，尤其是三维不可压缩 Euler 方程和 Navier–Stokes 方程中的奇性形成问题;在这一研究中，严格的偏微分方程分析与高精度数值计算是相辅相成、紧密结合的。
Q2：对于初次接触偏微分方程的学生来说，偏微分方程往往显得比较抽象。从您的角度看，理解 PDE 究竟表示什么，最直观的方式是什么?当您看到像 Euler 方程或 Navier–Stokes 方程这样的方程时，符号背后呈现给您的物理或几何图景是什么?您又是如何帮助学生更好地理解它们的?
理解偏微分方程最直观的方式，是把它看作一条描述某个量如何在空间和时间中变化、并与周围环境相互作用的规律。PDE 不仅仅是一个公式，它是一条支配连续系统如何演化的动态法则。
当我看到 Euler 方程或 Navier–Stokes 方程时，我首先看到的不是符号记号，而是流动的流体：河流中翻卷的水，空气中扭动的烟雾，或者被拉伸和变形的涡旋。速度场告诉我们流体微粒如何运动，压强通过流动重新分配作用力，而涡量则刻画局部的自旋与扭转。在三维情形下，涡线的拉伸尤其重要，因为它可能会强烈放大局部结构。
在教学中，我会尽量把方程和具体场景联系起来：烟环、漩涡、涡管、锋面以及湍流。同时我也会强调方程中各种物理效应之间的平衡——输运、非线性、压强和耗散。一旦学生开始把 PDE 看作各种机制之间的平衡，而不只是若干导数项的堆积，这门学科就会变得更加直观，也更加鲜活。
Q3：您的许多工作研究了 Euler 和 Navier–Stokes 方程中涡动力学的行为以及奇性形成的可能性。这些方程写起来很简单，但分析起来却异常困难。您认为，是什么让流体方程在数学上如此丰富且具有挑战性?
流体方程之所以在数学上如此丰富，是因为它们以非常简洁的形式，同时包含了极其强烈的非线性与非局域效应。非线性并不是一个小修正项，它恰恰是驱动输运、不稳定性、涡拉伸以及不同尺度之间活动传递的核心机制。与此同时，压强又是非局域的，因此一个点上发生的事情取决于整个流场的全局结构。
另一个主要困难来源于流体的多尺度性质。一个大尺度、光滑的流动可以生成非常精细的结构，而这些细结构又会反过来影响更大尺度的运动。在三维中，涡拉伸原则上可以造成强烈的局部放大。
乍看之下，这似乎意味着奇性形成应该是“容易”的。但事实上，情况要微妙得多。一个聚焦型、近似自相似的爆破解，需要一种非常特殊的相干性：非线性必须以高度有组织的方式不断自我强化，并且在解集中时，涡拉伸的强度还必须始终锁定在恰当的量级上。可是在很多情况下，这种对齐并不能持续。局部涡量支集会发生变形、压扁或几何改变，从而削弱非线性放大。从这个意义上说，流体往往会表现出某种“自愈”或“动态耗减”机制，而这种机制会在发展过程中摧毁奇性。
这种放大与耗减之间的微妙竞争，是流体方程如此困难、也如此优美的主要原因之一。它们处在几何、分析、动力系统和计算的交汇点上。
Q4：数学分析中最著名的公开问题之一，是三维不可压 Navier–Stokes 方程的光滑解是否可能在有限时间内发展出奇性。您的研究在这个问题上提供了重要的数值和分析见解。为什么奇性形成问题如此核心?它的解决将告诉我们关于湍流和非线性 PDE 的哪些东西?
奇性问题之所以核心，是因为它在问：当我们从光滑初始数据出发时，方程是否会在所有时间上都保持正则并持续具有预测性。换句话说，非线性效应会不会强到使解在有限时间内爆破，还是说存在某些隐藏结构，总能阻止这种事情发生?
这个问题触及了非线性 PDE 的核心，因为它探测的是非线性放大与正则化之间的平衡。在 Euler 方程中，涡拉伸原则上可以驱动非常快速的增长，但输运项以及某些微妙的几何正则性，又可能削弱甚至抵消这种增长。在 Navier–Stokes 方程中，扩散额外提供了一种正则化效应，使得有限时间爆破更难发生。
需要注意的是，不能把聚焦型自相似爆破和湍流过于直接地等同起来。湍流倾向于把能量和小尺度结构扩散到整个物理空间中;而一个聚焦型自相似奇性恰恰要求相反的过程：非线性以高度有组织、由自身强化的方式集中到一个不断收缩的区域中。在很多情况下，湍流实际上可能会破坏维持这种奇性结构所需的相干性。这也正是为什么有限时间奇性的存在，尤其是自相似奇性的存在，是如此微妙的问题。
从我自己的研究中得到的一个认识是：如果爆破真的发生，它通常需要一种经过精心组织的环境。在 Euler 情形中，往往需要很强的几何约束，例如对称性或者边界的存在。此外，爆破点通常还需要与流动的驻点重合，这样输运的稳定化作用才会被削弱，自相似聚焦机制才能持续。在 Navier–Stokes 情形中，这个问题就更难了，因为扩散会强烈抵抗这种集中过程。
正因如此，精心设计的计算机实验就显得极其重要。在我的研究中，严格数值计算帮助识别并验证了可能的爆破情形。通过结合自适应数值方法、动态重标度，以及在离散层面精确保持对称性，我们可以构造出非常精确的自相似轮廓。接着，再把这些计算与 PDE 分析结合起来，就能够向“计算机辅助证明”推进。
利用这种方法，我和我以前的博士生陈嘉杰严格证明了：在存在光滑边界的情况下，三维 Euler 方程可以从光滑初始数据出发形成奇性。最近，我又与我的两位博士生 Yixuan Wang 和 Changhe Yang 合作，证明了三维不可压无外力 Navier–Stokes 方程中，从一个不稳定特征模分叉出来的无穷多个 Leray–Hopf 解的非唯一性，从而解决了 Navier–Stokes 方程中的一个长期公开问题。
对于三维 Navier–Stokes 奇性问题的最终解决，将会告诉我们某种根本性的东西。就我个人的看法而言，也许确实存在经过特殊构造的、具有有限能量的光滑初始数据，能够导致有限时间奇性。如果这种爆破存在，人们普遍认为它在动力学上是不稳定的，因此在真实物理环境中很可能只是罕见事件。即便如此，通过理解可能导致这种奇性的机制，我们仍将获得关于极端非线性行为的重要认识，也能更好地理解在实际应用中如何控制或避免这类事件。
Q5：近年来，机器学习开始与科学计算和 PDE 相交汇，例如 physics-informed neural networks、neural operators，以及对动力系统的数据驱动建模。从您的角度看，PDE 理论能够在塑造面向科学问题或大语言模型的机器学习未来方面发挥什么作用?
PDE 理论可以发挥基础性的作用，因为它提供了仅靠数据往往无法提供的东西：结构。在科学问题中，PDE 编码了守恒律、对称性、尺度行为、稳定机制以及物理一致性。而这些恰恰是机器学习模型如果想在训练分布之外依然可靠，就必须具备的原则。
例如，在科学机器学习中，PDE 理论可以帮助我们理解：一个模型应当保持什么，它能够较好逼近什么，以及哪些类型的泛化在数学上是可信的。它能够指导模型设计、训练目标以及误差分析。它也能帮助我们区分：一个模型究竟只是在拟合数据，还是确实捕捉到了底层机制。
对于大语言模型来说，这种联系没有那么直接，因为它们的基础更多是统计和概率，而不是 PDE;但更广泛的启发是类似的。PDE 的思维方式强调动力学、多尺度相互作用，以及大尺度结构如何从局部规则中涌现。更一般地说，数学可以帮助把严谨性、稳定性以及基于机制的推理引入 AI。我相信未来不在于用机器学习取代数学结构，而在于把两者结合起来，让学习方法受到底层科学最深层原理的引导。
Q6：PDE 未来的发展会是什么样?即使在几十年后，三维 Navier–Stokes 方程公开问题被解决了，您认为还有哪些重要问题值得研究?
PDE 的未来极其广阔，也令人兴奋。即使 Navier–Stokes 正则性问题最终得到解决，仍然会有许多根本性问题有待解决。
一个重要方向是湍流的数学理论。但在这里，同样应该区分湍流与聚焦型奇性形成。湍流并不只是“几乎要爆破”。它是一种更加分散、更加多尺度的现象，涉及能量级联、间歇性爆发，以及跨越许多长度尺度的结构相互作用。理解能量是如何传递的、相干结构如何涌现，以及如何定量描述间歇性，仍将是数学和物理中的核心挑战之一。
另一个重要方向，是其他非线性 PDE 中的奇性形成与长时间行为，包括色散方程、几何流动力学方程，以及来自等离子体物理、材料科学和生物学的模型。即使在流体力学本身，一个重大问题也是更清楚地理解：在什么情况下非线性对齐能够持续，而在什么情况下几何变形会将其破坏。在我看来，这种聚焦与耗减之间的平衡，是这一领域最深刻的主题之一。
此外，还有许多重要的多尺度问题，例如如何从微观动力学推导出有效的宏观定律，以及确定性效应与随机效应如何相互作用。
我也相信，PDE 将会越来越多地与计算、数据科学和人工智能发生交互。未来不仅仅是证明存在性与正则性，也包括计算辅助证明、降阶建模、不确定性量化，以及基于学习的科学发现。从这个意义上说，PDE 将始终居于核心地位，因为它是数学用来描述结构、动力学和自然规律的主要语言之一。
嘉宾：侯一钊
主持：Mia 王璟晗
作者：Mia 王璟晗
